wir werden wissen (1900/1930)

David Hilbert (professor a Göttingen del 1895 al 1930) va proposar, el 1899, axiomatitzar la geometria, és a dir, construir-la lògicament, a partir d’un sistema d’axiomes, com un conjunt de relacions formals, rigoroses i simples, entre símbols. Aquests axiomes havien de ser independents (no se’n pot deduir cap a partir dels restants), consistents (no es pot deduir cap contradicció a partit d’ells: tot allò demostrable és veritat) i complets (tots els teoremes són demostrables: tot allò veritable és demostrable).

Hilbert, al voltant del 1900

Però, lluny d'exercir com a teòleg, Hilbert fou una mena de profeta, capaç de preveure el rumb que prendrien les matemàtiques en el futur. El 2 d'agost del 1900, a la Universitat de la Sorbona, al II Congrés Internacional de Matemàtics, alt, sec, ulls brillants rere les ulleres, barbeta retallada, veu ferma, personalitat captivadora, va exposar l’extensió del seu plantejament des de la geometria a totes les matemàtiques i la famosa llista dels 23 problemes a resoldre pels matemàtics de l'avenir.

Brouwer, el 1909, va arguir que l’exactitud matemàtica no rau a la lògica formal, com proposava Hilbert, sinó a la intuïció i va proposar una manera de pensar diferent del formalisme de Hilbert: aquesta lògica intuïcionista rebutjava els raonaments per reducció a l’absurd, tan emprats per Hilbert. Per Brower la falsedat de la negació d’A no implica la veritat d’A. Brouwer només acceptava com a vàlides les demostracions construïdes: perquè un objecte matemàtic existeixi no n’hi ha prou que no generi cap contradicció, cal aportar un procediment efectiu de construcció. Les paradoxes descobertes en el context de la teoria de conjunts evidenciaven, a parer seu, els perills de la matemàtica merament existencial.

Al voltant de 1920, Hilbert volia donar resposta a les crítiques intuïcionistes i resoldre definitivament el debat sobre la fonamentació de les matemàtiques a favor de la seva postura formalista. No li calia apel·lar a Déu, com Kronecker, ni a cap intuïció originària, com Brouwer, ni a cap dels altres recursos proposats pels matemàtics. Fins al 1930 el programa de Hilbert s’havia essencialment complert: la lògica, la teoria de conjunts i l’aritmètica estaven axiomatitzades. El 8 de setembre de 1930, en jubilar-se, va pronunciar un discurs a la seva ciutat natal, Königsberg, on va tornar a defensar la idea que no hi ha problemes irresolubles en matemàtiques. Es conserva la gravació de les seves paraules aquell dia, "Wir müssen wissen, wir werden wissen" (Hem de saber, sabrem), i si s’escolta bé al final se senten les cleques de Hilbert.

Paradoxalment, com una broma del destí, els tres dies anteriors s’hi havia celebrat un congrés sobre epistemologia de les ciències exactes. Kurt Gödel, hi va comunicar un resultat que havia obtingut i que els assistents van escoltar indiferents: “Puc donar exemples de proposicions aritmètiques certes però indemostrables al sistema formal de les matemàtiques clàssiques.”  Mitjançant una audaç codificació numèrica basada en els nombres primers va assignar nombres als signes de manera que fos factibles associar a cada demostració un nombre que codifiqués tota la seva estructura. La demostrabilitat, per exemple, quedava representada com una relació numèrica. Llavors Gödel va construir una fórmula que afirma d’ella mateixa el següent: “sóc indemostrable”, i va raonar que aquesta sentència tot i no ser demostrable és certa. I com que ella o la seva negació han de ser certes, tenim una fórmula veritable però indemostrable. El pitjor és que si afegim la sentencia impossible de dir com a nou axioma n’apareixen de noves. Un sistema axiomàtic consistent es torna incomplet i, a l’inrevés, si és complet esdevé inconsistent, com en la paradoxa del mentider. Fatalment, algunes propietats sobre els nombres no poden ser demostrades ni refutades a partir dels axiomes.

Igual que el detectiu que sap del cert qui és l’assassí però és incapaç de provar-ho, Hilbert veia decebut que allò que és veritat no sempre és demostrable. Va resultar que no podem ni dir que ”l’aritmètica és consistent”. Havia construït una tanca per protegir dels llops el ramat, però per mala sort dins hi havia quedat algun llop. Potser el seu error havia estat pressuposar que la ciència s’ha creat  sobre els seus propis fonaments, quan resulta que la llista d’axiomes s’ha obtingut de l’anàlisi de les demostracions no formals. La matemàtica no és un temple acabat sinó una ciutat amb zones noves en construcció i zones abandonades, a punt per l’enderroc.
  
Extret de: 

*Carlos M. Madrid Casado: Hilbert. Las bases de la matemática, RBA, Barcelona, 2013.
*Gustavo Ernesto Piñeiro: Gödel. Los teoremas de completitud, RBA, Barcelona, 2012.

Tomba de Hilbert, a Göttingen

WIR WERDEN WISSEN

Feia trenta anys que havia seduït

el clan dels matemàtics

un dia calorós del mil nou-cents a la Sorbona:

Hem de saber, sabrem!

Vedet de lògica formal,

havia aparegut a l’escenari

vestit amb axiomes transparents

i a poc a poc manifestà

que allò que és demostrable és veritat

i allò que és veritat és demostrable.

Un "Oh" enlluernat s'alçà del públic.

Ara s’ha jubilat

i Hilbert discurseja a la ciutat natal,

la Königsberg dels set ponts.

Li fan la guitza, cert, els partidaris

que raonar comença intuïtiu.

Talment el detectiu segur

del nom de l’assassí,

riu, sorneguer, quan repeteix:

Hem de saber, sabrem!

Encara desconeix que, no fa gaire, 
d'un còsmic esternut han tremolat
els fonaments del temple mig alçat.

Jugant amb nombres, Gödel

codificà teoremes qualssevol,

explorà la paradoxa del mentider

i convertí en fórmula

aritmètica la proposició

“aquesta afirmació no és demostrable”,

certa tot i que no demostrable.

Definitivament no era l’infinit

prou gran per contenir-la,

i no podia ser el sistema                 

dels algorismes

complet i consistent alhora     

El jonc flexible resistí el sotrac

millor que l'acer dur.

Mai no sabrem del tot.